Théorie nouvelle des series asymptotiques. 135 



Ghapitre III. 



Équations linéaires intégrables å l'aide des fonctions 

 cylindriques. 



§8. Transformation de l'équation de Bessel. 



Pour donner l'application susdite des resultats du chapitre 

 précédent, supposons que F{x) soit une intégrale quelconque 

 de cette équation linéaire non homogene: 



(1) F^'\x) + 1 F^'\x) + (l - ^) F{x) = f{x) , 



oii f{x) designe mie fonction donnée. Une simple transfor- 

 mation de la variable indépendante montrera que la fonction 



z = F{j3x^) 



doit satisfaire å cette équation déduite de (1): 



Posons encore 



z = x'^'ij; 



nous verrons que la fonction 



(2) y = x'FiiSx^) 

 satisfait å cette équation encore plus générale: 



(3) U'"+'~=^r>^{?'r'-^-'-' + ^^)'J = 



I == /i''fx'-'+^r-^-f{i3x^). 



Considérons en particulier le cas ou f{x) est egal å zéro, 

 nous verrons que l'intégrale compléte de l'équation homogene 

 qui correspond å (3) se présente toujours sous la forme: 



(4) y = x\c,J"(j3x^) + c, Y''(l3x''')) , 



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