Théorie nouvelle des series asymptotiques. 137 



f'(j') - «'(2^)-r'/^'"-'''''-'; 



nous aurons, en différentiant plusieurs fois par rapport å x 

 l'équation (3) § 8, ou bien l'équation 



%) = O, 



cette autre équation d'ordre w --L- 2 , oii les a désignent des 

 coefficients indépendants de x: 



<i) ' 



S = 



s = n 



^5 "'%) - / r^ e (« ^ ^r - 2) ,r^+'"-"-^ = o , 



s = o 



OU l'on a pose pour abréger 



s = n 



<2) G{k) = «„^^a„_,Å-(Å--l)...(Å--s+l), 



s = 1 



et ou F(^^(.?/) et v^'\y) désignent les fonctions obtenues en 

 différentiant s fois par rapport å .r les deux fonctions V{i/) 

 et v{ij) respectivement. 



De cette maniére nous venons de démontrer la proposition 

 suivante : 



L'intégrale compléte de l'équation non homogbne (1) 2)ei(t 

 étre ohtenne å Vaide de celle de V équation homogene corres- 

 l^ondante en y ajoutant la fonction x'^A''''^{j3x^). 



De méme, nous démontrerons aisément aussi cette autre 

 proposition : 



Supposons qne les racines de l'équation algéhrique 

 (3) Gik) = O 



soient des qnantités différentes 



D.K. D.VID. SELSK. OVERS. 1902. 



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