140 Niels Nielsen. 



Deuxiéme Partie. 

 Représentations asymptotiques d'une fonction cylindrique. 



Chapitre IV. 

 Series asymptotiques obtenues pour J^a;) et ¥"(0:). 

 § 10. Évaluation nouvelle des intégrales d' Hunkel. 



Certainement Hankel ^ a étudié le premier des cas parti- 

 culiers, mais d'une portée assez étendue, de cette intégrale 

 défmie, ou le chemin d'intégration est Faxe des nonibres 

 positifs : 



(1) U,^ = ^er'''\\+aijy-^a'-^da, 



•-'0 



intégrale qui est absolument convergente, méme pour des 

 Valeurs negatives de ?/, pourvu que l'on ait: 



(2) 9t(^0>O, 9?(v)>-i; 



dans le cas particulier 9i(.r) = O il faut admettre aussi 



Supposons maintenant 9i(,r)>0, notre intégrale (1) est 

 absolument convergente et c'est la méme chose pour les 

 intégrales obtenues en différentiant par rapport å .r sous le 

 signe d'intégration. Cela pose, appliquons l'identité: 



nous aurons cette premiere formule, ou les derivations doivent 

 étre effectuées par rapport å æ: 



(3) C7f=ic„Ki)+lcr, 



y — y '^' 



■ Mathematische Annalen, 1. 1, p. 491; 1869. 



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