Théorie nouvelle des series asymptotiques. 141 



Or, une integration par parties donnera immédiatement, 

 en vertu de (1) 



(4) p„^, _!j^t;_e^±il*c^« 



de fa^on que (3) montre que notre fonction V,^ doit satisfaire 

 å cette équation differentielle linéaire du second ordre: 



(5) p«+ ('?i^±i - 1) J/W- ?4±i c; = O , 



d'oii, en vertu de (6) (7) § 8 : 



(6) v=.r'!'{c\r[Q+c',j'[^^y 



OU c\ et Cj désignent deux constantes indépendantes de x, et 

 OU l'on a pose 



i = e 



,2 



Supposons maintenant pour un instant que y soit une 

 quantité positive, puis mettons dans (1) ay au lieu de «, 

 nous aurons immédiatement: 



^'^'^^=K^)' 



■ i/. 

 oii le second membre est une fonction seulement de Fargu- 



ment - 



y 



Gela pose, l'équation (6) s'écrira sous cette forme plus 

 commode : 



(7) y (l+«i/) « r/«=-^(^c,J ^^j + c,r (^^jj, 



OU les coefficients c^ et c^ sont indépendants et de x et de y. 



On voit qu'il faut admettre généralement dans (7) 9?(v) > —i, 



3i(.r)>0, tandis que y peut étre une quantité finie quel- 



conque différente de zéro, méme une quantité negative reelle. 



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