Théorie nouvelle des series asymptotiques. 143 



méme, en vertu de la definition intégrale de la fonction 

 gamma, cette autre équation: 



(9) c, = _^r(v+i)/^' 



Gela pose, nous verrons de méme que cette équation est 

 valable aussi dans tous les cas oii notre intégrale (7) a un 

 sens; c'est-å-dire que nous avons fmalement: 



(10) \é; (1 + ay) a da =^ ^ ,- ^M ;;" ' 



formule qui est essentielle dans les recherches qui nous occu- 

 pent ici. Rempla^ons maintenant dans (10) y par ije-'^\ nous 

 aurons, en vertu de (5) § 4: 



(11) Xé? (1 — aw) a da = ' ila — h 



formule qui est analogue å (10). 



Posons dans (10), (11) y = ^, nous retrouvons les for- 

 mules d'HANKEL^ Or, l'introduction de cette variable nou- 

 velle y rend beaucoup plus flexibles nos deux formules sus- 

 dites, de fa^on que nous pouvons écarter inmiédiatement, 

 comme nous le verrons au paragraphe suivant, les difficultés 

 considérables qui se sont présentées å Hankel dans ses recher- 

 ches sur les series asymptotiques obtenues pour J\x) et Y^{æ). 



§ 11. Series asymptotiques trouvées pour J^{x) et Y {x). 



Avant de donner l'application la plus importante de (10), 

 (11) § 10, nous avons å faire une remarque essentielle relative 

 å ces deux formules. En réalité, il est evident que les for- 

 mules susdites, prises ensemble, ne peuvent representer les 



' Mathematische Annalen, t. I, p. 491 ; 1869. 



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