Théoiie nouvelle des series asyinptotiques. 145 



B et ^' désignant deux quantités positives situées entre O et 

 1. Substituons maintenant dans l'intégrale figurant au pre- 

 mier membre de (1) l'expression (3), nous aurons, en désig- 

 nant par f{x) cette intégrale: 



(5) f{x) = ^^^^^^ (Pnix) + i Qn{x)) -\\e-''''Rn{a) r/-hla , 



oii l'on a pose pour abréger 

 (6) P„{x)=lJr 





(7) Qn{x) 



s= 1 

 ■ n— 1 



V (-ir ("~4 j(^-4 )---r — 4- j 



^ (2s + l)!* (2^)2^+' 



Faisons maintenant croitre å Finfini le positif entier n, on 

 voit que les fonctions -P^(J.) et Q^[^) se présentent générale- 

 ment sous forme de deux series de puissances du rayon de 

 convergence zéro; c'est-å-dire que le second membre de (5) 

 deviendra illusoire. Or, pour que la formule (5) nous repré- 

 sente asymptotiquement la fonction f{x) il faut, d'aprés M. 

 PoiNGARÉ ^ , qu'il soit possible de determiner une valeur X de 

 \x\ aussi grande que 



I I C"" 



(8) x^E'n = xAe-arBn{a) a^-hla 



i I t'o 



oii £ designe une quantité positive donnée auparavant et 

 étant aussi petite qu'on le veut. Or, on aura immédiatement : 



<£, \X\>X, 



t'o 

 ce qui démontre facilement l'inégalité (8). 



» Ada Mathematica, t. VIII, p. 292; 1886. 



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