J^46 Niels Nielsen. 



La formule (2) peut étre traitée de la méme maniére, de 

 faijon que nous avons ces deux series asymptotiques dues å 

 Hånkel ^ : 



(9) Hi{x)o^\/~e^""^''''(Pn{x)4-iQn{x)y 



(10) Ho{x)c^\/^^e~("~~^''^'IPn{x)—iQn{æ)) , 



oii les égalités »^ doivent etre comprises asymptotiquement. 



Supposons maintenant dans (1) ^ = -\r-^, les deux mem- 

 bres de cette formule sont reels, de fagon que (9) garde sa 

 validité dans ce cas aussi. Quant å (2), cette formule ne 

 donne aucune serie asymptotique , écrite sous cette forme. 

 Or, posons dans (11) § 10 xe^^ au lieu de x et y == \é^, oii 

 X est une quantité positive, tandis que 6 designe un angle 

 reel situé entre +^ et — ^, ces deux limites exclues; de 

 cette maniére nous aurons: 



r-«.e'-^/. a ,A'-\_, . l/S ^ ro-hi). ^(--^':> . 



formule qui montre clairement que (10) garde sa validité 

 aussi dans ce cas, 



Quant au parametre v, les formules (9), (10) ne sont dé- 

 montrées que si Fon suppose 1R(v)> — |; or, les formules 

 (2) §3: 



Hr\x) = e^'^'H'.ix), Hr\x) = e-'^^'H^ix) 



montrent immédiatement que (9), (10) gardent leur validité 

 pour une valeur finie quelconque de u. 



Cela pose, ajoutons, puis soustrayons, les formules (9), 

 (10), nous trouvons ce théoréme general: 



Supposons que le pjarametre i/ soit une quantité finie mais 

 quelconque du veste, supposo7is de plus x = \x\e oii 



1 Mathematische Annalen, 1. 1, p. 491— 501; 18G9. 



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