Théoiie nouvelle des series asyinptotiques. 147 



— S" < f ^ "!~ 5" ; ^loiis aurons 2)onr des valeurs tres grandes 

 de \x\ ces deux représentations asymptotiques : 



(11) J\x) cv. )//^ cos^a;— -^^7r)P„(a;)— sm(iP--^^r)(>„(r) 



(15) r{x)c^ y^lsin(a^-?^^7r)p„(.r) + cos(^-^^^;r)c>„(^) 



Four toutes les autres valeurs de (p nons avons å Urer 

 les expressions asymptotiques de (11), (12) en appliquant (1), 

 (2) §4. 



Dans le cas oii v est la moitié d'un entier impair, les 

 deux series P^{x) et Q^{x) seront des series fmies et (11), 

 (12) nous donnent précisément les expressions bien connues 

 pour ces fonctions cylindriques, introduites par Poisson ^ 



Généralement nous verrons que les formules de (9) å (12) 

 ne nous présentent des series asymptotiques, d'aprés la de- 

 finition de M. PoiNGARÉ, que dans le cas particulier ou x est 

 positif. Gependant, dans tous les autres cas, les formules 

 susdites nous indiquent comment se comportent les fonctions 

 cylindriques pour des valeurs extrémement grandes du mo- 

 dule de leur argument. 



§ 12. Sur nne intégrale de M. //. Weber. 



Pour donner une premiere application des expressions 

 asymptotiques que nous venons d'obtenir, considérons cette 

 intégrale due å M. H. Weber ^ et démontrée d'une maniére 

 tres élémentaire par Hankel ^: 



(1) \Aa)a"da = t- ]J ' 



^ Tliéorie mathématique de la chaleur, p. 161 ; Paris 1835. 

 * Journal de Grelle, t. LXIX, p. 231 ; 1868. 

 =• Matliematische Annalen, t. VIII, p. 468; 1875. 



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