Théorie nouvelle des séiies asymplotiques. 149 



formules que noiis avons å generaliser beaucoup; du reste, 

 elles sont valables, pourvu que l'on ait å la fois 



(8) 9?co)<i, mp±>)>-^- 



§ 13. GénéraUsations de Vintégrale de M. Weber. 

 Considérons maintenant cette intégrale définie plus générale 



/»CC 



yliiiax) a^do. , 

 Jo 



OU X designe une quantité positive, puis meltons o.x au lieu 

 de X, nous aurons, en vertu de (7) § 12, cette formule ana- 

 logue : 



(1) \H,{ax)a'da = -^ / (^^^— j ^y-^^Y ' ' 



Or, supposons dans cette formule 9^(-a?/)>0, 9^(^o±i^)>- 1, 

 son premier membre représente une fonction holomorphe de 

 X et c'est la méme chose pour le second membre; c'est-å-dire 

 que la formule susdite garde sa validité aussi dans ce cas 

 beaucoup plus general. 



Mettons encore dans (1) 



— axi --■=-- axe ^ 



au lieu de x, nous aurons cette autre formule: 



valable pourvu c{ue l'on ait å la fois 9t(a;)>0, 9ft(/9±!>>-l 

 et que le chemin d'intégration soit l'axe des nombres positifs. 

 Quant å l'autre fonction hankélienne , nous aurons de la 

 méme maniére, en vertu de (6) § 12, cette autre formule 

 analogue å (2) : 



(3) Qw.^« = ^ r(-t^) r(e=^) . 



«^o 

 valable aussi pourvu que 9t(.r)>0 et M{p4::i>)> — 1. 



33 



