Théorie nouvelle des sedes asymptotiques. 151 



On voit sur-le-champ que notre intégrale // satisfait for- 

 mellement å cette équation linéaire non homogene du second 

 ordre : 



1 / "N 1 ^°° 1 ^=° 



(3) ^(2,^1^(1)+ (l_ ^j^ = Mc='(«)/^«__A_Vc^(a)/+V«. 



Les intégrales définies figurant au second membre de (3) 

 se déterrainent å l'aide des formules (4), (5) § 12, de fagon 

 que l'équation differentielle connue pour la fonction de Lommel 

 (2) § 7 donnera pour l'intégrale y une expression de la forme 

 suivante : 



(4) y = c,J'\x) + c,Y'\x)-^ A^''" n'-''-P"\x)-A^"^^'' n''-''{x), 



oii c'j et Co désignent deux facteurs indépendants de x, tandis 

 que nous avons pose pour abréger 



cos|(^-v)sin;r(/> + v) sin;r(/>-f .) ' 



OU les a(y) et é(v) désignent les deux fonctions arbitraires 

 figurant dans la fonction cylindrique générale, savoir: 



C\x) = a{v)J\x)^h{v)Y\x). 



Cependant la formule (4) que nous n'avons démontrée que 

 fonneUement exige des interpretations ultérieures. En effet, 

 supposons d'abord que la fonction cylindrique figurant sous 

 le signe d'intégration soit celle-ci: 



Ci{x) = (^a{v)-\- b{v)coi7T]^^J'''{x), 



il est possible de choisir des valeurs simultanées de v et de /> 

 telles que l'intégrale proposée et les deux autres obtenues 

 par differentiation répétée par rapport å x sous le signe d'inté- 

 gration soient absolument convergentes , et voila une demon- 

 stration rigoureuse de l'équation correspondante (4) dans tous 



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