Théorie nouvelle des series asymptotiques. 153 



valable, pourvu que l'on ait å la fois 



(2) ^(/>)<f, 9?(/> + v)>-l, 



tandis que x designe toujours une quantité positive. 



Posons p = O, nous aurons cette formule interessante: 



(3) Y^da = -.^^(r{x)-r{4, 



valable pourvu que 9fi (v) > — 1 ; ¥^{x) designe la fonction 

 d' Anger. Dans le cas ou v est egal å l'entier non négatif n, 

 la formule (3) s'écrira sous cette forme, ou S"{x) designe le 

 polynome de Sghlåfli introduit au § 1 formule (7) : 



(4) 



(- 1)" \t^ ^^« = j (^"(^) + *5"(^) - ^"(^)) 



^0 



Gonsidérons maintenant le cas ou ^ = v + w, n étant un 

 nombre entier, nous aurons, en vertu de (2) § 6 : 



(5) (-ir\-^^|^^^«=2^^^;^i^-^> ^ (^)-sinv;rJ(a^)j-^r(a:), 



fl 7l-\- 1 



oii 7i' est egal å -^ ou å —~- selon que n est pair ou impair; 

 la formule susdite est valable, pourvu que l'on ait å la fois 



(6) -\-l<^{y)<l-n. 



ce qui donnera n < 3. La formule (5) est inapplicable dans 

 le cas oii V = p + I , jj étant un nombre entier ; or, on dé- 

 termine aisément la vraie valeur du second membre. Posons 

 encore n = O, nous aurons cette formule elegante: 



D.K.D. VID. SEI.SK. OVERS. 1902. 37 12 



