Théorie nouvelle des series asymptotiques. 157 



v+l 



(4) --''y'^^-.y)-^ \?!_"\''.,,W la; 



c'est-å-dire que la fonction figurant au premier membre est 

 ime fonction du produit æij seulement. 



Appliquons ensuite cette formule fondamentale des fonc- 

 tions cylindriques 



Da[aC^(ax)j = xaC^~(ax), 



qui est une conséquence immédiate de (1), (2) §2; la for- 

 mule (1) donnera, aprés une integration par parties, cette 

 autre formule fondamentale: 



(5) F-^(., ,) = I- F- '•"-(., ,j) - 'p^ , 



valable pourvu que 9?(^)>0. Puis, appliquons l'identité 

 suivante : 



C\ax) — D,C\ax) = aC'-"^\ax), 



nous aurons de méme, en vertu de (1): 



(6) -V ' (x, tj) ^-^ = V '^{x, y) ; 



enlin, l'équation differentielle de Bessel donnera, aprés une 

 legere modification : 



(«) ^ 



d V'^ix, y) , 1 dr''P{x, y) 



dx- x dx 



i^y. + g^Y'-''{x,y) 



I C^{ax)a , 



'o 



de fa^on qu'une integration par parties nous donne fmale- 

 ment cette équation differentielle linéaire non homogene du 

 second ordre: 



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