Théorie uouvelle des series asymptotiques 159 



§17. Evaluation nouvelle de quelques intégrales de M.Sonin. 



Considérons en paiiiculier l'intégrale V dont la fonction 

 cylindrique est de la premiere espéce; nous avons å poser 

 a(v) = 1, é(y) = O, ce qui donnera cette formule due å 

 M. SoNiN^: 



/IX \J{ax)a , nsry 'i "^ tj^~P( -^ 



OU Hi{x) designe la premiere fonction cylindrique hankélienne; 

 cette formule est applicable pourvu que 



9i(v)>-i, 9t(2^)-i-|>9^(v). 



Or, cette intégrale trouvée, on en déduira aisément quelques 

 autres dues également å M. Sonin. En prernier lieu, posons : 



Jo i<^^fr <^'+t' 



intégrale dont la determination selon la méthode de M. Soxin 

 a offert des difficultés considérables å l'éminent géométre 

 russe^. 



Les expressions asymptotiques de J^{x) montrent que 

 l'intégrale U a un sens si les variables x, z et if sont reelles; 

 quant å ^, cette variable peut étre une quantité fmie quel- 

 conque, les valeurs purement imaginaires étant exclues. En 

 outre, il faut que les deux parametres v et ^ satisfassent å 

 ces deux conditions: 



(3) 9^(v) + 2>9l(^)>-l. 



On voit que notre intégrale V contient apparemment 

 quatre variables indépendantes ; or, posons a.T = ^ , nous 

 aurons : 



' Mathematische Annalen, t. XVI, p. 50; 1880. 

 * loc. cit. p. 56—60. 



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