Théorie nouvelle des series asymptotiques. 161 



telle est notre évaluation nouvelle de l'intégrale w^g de M. 



SONIN. 



Du reste, cette formule elegante peut étre tres généralisée 

 en appliquant simplement le calcul des résidus de Caughy, 

 c'est-å-dire en approfondissant une méthode expliquée dans 

 quelques cas particuliers par Hankel ^ 



Or, l'intégrale (7) trouvée, on déduira aisément quelques 

 autres des intégrales remarquables que l'éminent géométre 

 russe a trouvées plus par des inspirations ingénieuses que par 

 des méthodes rigoureuses et systématiques. En premier lieu, 

 posons dans (7) # = y; nous aurons cette autre formule: 



f 





ce qui n'est autre chose que l'intégrale oj^.^ de M. Sonin^. 

 Pour obtenir l'intégrale a>i2 du méme auteur^, supposons 

 'Si{p)>0, puis faisons i == O, et notre formule (7) donnera 

 immédiatement cette autre: 



^: 





§ 18. Cas particuliers oii v ou p est la nioitié d'un entier. 



Il est evident que nos formules générales données au § 16 

 doivent étre moditiées dans les cas particuliers ou i; ou ^ 

 est la moitié d'un nombre entier; une telle discussion peut 

 étre établie å l'aide des formules données aux §§ 5, 6. 



En premier lieu supposons p egal au nombre entier non 

 négatif 5; notre fonction /7 en question deviendra egale å 

 cos;r(v — q)J ~^{x)^ ce qui nous conduira immédiatement å 



' Mathematische Annalen, t. VIII, p. 458—407. 

 ^ loc. cit. p. 51. 

 ' loc, cit. p. 49. 



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