Théorie nouvelle des series asymptotiques. 



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(3) 



\ax) '■'+' 



'l^i f^« = 



zoif{iji] 



p—p 



1>P+^ 



r-^'r{p + \) 





oii Fon a pose pour abréger, en désignant par a et b les 

 Valeurs de a(v) et b{v) indépendantes de la valeur entiére de v : 



(4) c'' = ai-\-b, c'' = —a—bcotoT:, < = . 



La formule (3) se présente sous une forme remarquable 

 dans le cas ou /> = r — i, r étant un nombre entier, et ou 

 la fonction cylindrique est celle de deuxiéme espéce; nous 

 aurons en effet: 



(5) 



n + l 



Y\ax)a 



'o 



da = 



r+i /-^^ A"-'"+^ 



7TX {iy) 



^ {j—^\xyi) + ^r— *->^/)). 



Posons maintenant dans (1) v == ^> ou bien dans (3) /> = 2, 

 nous aurons cette autre formule: 



(6) 



e{ax) 



.P4-1 



(«^-f^^r^ 



f^a 



7ix\yi) 



(7) 



^^fP-p ((o* 4- b)J'-\xyi) + (é^ - a) Y''-\xyi)-bP'-'' \xyi) 



Nous avons encore å étudier le cas particulier v = n — ^, 

 w étant un entier positif ou zéro ; nous aurons immédiatement : 



{ax)or^^ 



Tix!'{yi)" 





+y^) 



2\/»+l 



da 



t^'r{p + \) 



-p-h 



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"-,«-*...,.•^ , . ^"-/'-*'-"(^y,-)), 



