Théorie nouvelle des series asymptotiques. 165 



fonctions a(v) et 6(j/) figurant dans C^{x) soient des fonctions 

 reelles; l'identité 



(2) r'^ix, -iy) = -ef''^\J'^\x,y)^W^^\x,y) 



nous permettra de determiner aisément nos deux intégrales 

 V et TF, en comparant séparément les parties reelles et 

 les parties imaginaires, On voit que la demande des fonc- 

 tions reelles pour des valeurs positives des variables ne peut 

 étre maintenue que si l'on prend la valeur susdite de ( — 1)'^ 

 figurant au second membre de (2). 



Or, nos deux nouvelles intégrales susdites étant trouvées 

 pour des valeurs positives des variables, on voit, d'aprés un 

 théoréme fondamental de la théorie des fonctions analytiques, 

 que les formules ainsi obtenues gardent leur validité, pourvu 

 que les intégrales en question aient un sens. De méme, les 

 fonctions périodiques a{y) et h{y) peuvent étre imaginaires 

 aussi, car les formules précédentes nous permettent d'évaluer 

 les intégrales contenant ou J\x) ou Y\x) seulement. 



Gonsidérons d'abord l'intégrale ?7, nous aurons, aprés 

 avoir changé le signe de p et pose y ^ \^ a =- sin^: 



(3) ' 



\C''(icsin^) (sin^)""^ (cos^)"'" dtp 



^'-^xP 



((« (.) + h (.) cot .;:) T^^P[x) - JM /7-^. — ^(^) j, 



formule qui est valable pourvu que 



9i(^)>0, 9i(,)>-l, 



tandis que x designe une quantité finie quelconque différente 

 de zéro. Notre formule (3) est une generalisation tres étendue 

 de celles qui représentent ou J\x) ou I]^'^{x). 



Posons dans (3) v = n — ^, n étant un entier non négatif ; 

 posons encore /) + | au lieu de p, nous aurons: 



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