168 Niels Nielsen. 



Considérons d'abord l'intégrale générale qui contient la 

 fonction H2{x), nous aurons, en vertu de (8) § 16, et aprés 



avoir pose xe ^ =^ — xi au lieu de x: 



(X 

 HU— axi)a ' , 



Ttx y 





(- cot v^ r-^xy) + r-^xy) + ^^ 77^"^' "^-^(.r^)) , 



2^^' r(^ + l) sin ^TT 



formule qui est valable, pourvu que 



(2) 9?(;r)>0, 3t(v)>-l, 

 OU bien 



(3) 9?(a;) = O, gt(v)>-l, 9^(^o)>9fJ(i;-i). 



Dans le cas particulier oii y est purement imaginaire il 

 faut ajouter aux conditions précédentes cette autre que. 9?(/>) 

 doit étre négatif. 



Posons niaintenant dans {\) p = — w, n étant un positif 

 entier , nous aurons , en vertu de (7) § 5 , cette formule re- 

 marquable : 



) («"+^ ) ^ smv;r 



qui est valable aussi dans le cas ou v est egal å un entier 

 non négatif, comme le montre clairement (6) § 5. On voit 

 que le second membre de (4), abstraction faite du facteur 

 ( — 1» est une fonction rationelle et x et de y. 



Quant å la fonction H\{x), la formule correspondante de 

 (1) ne devient pas aussi elegante; du reste, elle peut étre 

 obtenue de (1) a l'aide de (6) § 4, de fagon que cette formule 

 n'est au fond autre chose que (1) elle-méme. 



Les cas particuliers qui rendent inapplicable notre for- 

 mule (1) se traitent aisément å l'aide des formules du § 18. 



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