Théorie nouvelle des series asymptotiques. 171 



oii il faut admettre å la fois que la partie reelle de x est 

 positive et que y n'est pas egal å une quantité piirement 

 imaginaire. 



Cela pose, noiis aiirons ce développement en serie de 

 Taylor : 



s = 



ce qiii donnera, en vertu de {^) § 13 



(2) m = ^^2^^("r>'<-->>'-=(x^)+*"' 



« = 



oii l'on a pose pour abréger 

 -o-\ 



l'^ + l /U>. 



y \ 



Or, en se rappelant que pour des valeurs tres grandes de 

 ja? I la fonction cylindrique H2{—axi) peut étre remplacée par 

 e"*^"^, on voit sur-le-champ que ' 



\im. {x'"R'n) = 0, m{x)>0, 



|x [ = 00 



de fa^on que (2) nous donne précisément le développement 

 en serie asymptotique de f{x). 



Supposons maintenant 9fi(a;)>0, la formule (2) garde sa 

 validité si nous posons y = 1 , de sorte que nous n'avons å 

 étudier notre serie asymptotique que pourvu que l'argument 

 soit purement imaginaire. A eet égard supposons 



xt/ = ri, r>0, 

 nous avons å mettre: 



x = re , ij == le ; ^>(p>—^, 



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