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172 Niels Nielsen. 



et la formule (2) garde sa validité dans ce cas aussi. De 

 cette maniére nous avons démontré ce théoréme general: 



Le dévelopjjement en serie asymptotique 



— 77 ix\\cs, 



sm np 



(3) 



; [Y ' (x) — cot 1^71 J ' (x) + . „ 77 ix) 



miipX ^ ' ^ -^ ' sm2t/;z- ^ ' ) 



f^iy+p V— ' . /2\^ 



es^ valahle pourvu (pie 9t(i/) > — 1 et p)our des valeurs extréme- 

 ment grandes de \x\, si nous pjosons 



(^) ^ = l^k . — 2 <^^ + 2 • 



Supposons maintenant que 9? (v) < — 1 , nous avons å 

 remplacer u et p respectivement par v-\-n et p-\-n, oii n 

 designe un positif entier suffisamment grand pour que 

 9?(i;-|-w)> — 1. Cela pose, nous aurons: 



Pf ^ ^ {x) = 

 = 77 " (a;) + cos VTT • > —. — ^ — r , 



-ér r(^"+.+i)r(=^-«+.+i) 



et la fonction figurant au premier membre peut étre déve- 

 loppée å l'aide de (3). 



Si les conditions (4) ne sont pas remplies, nous avons å 

 appliquer cette identité: 



(6) 77''-^^' "^"la^r') = g-(^+/')^^'/7^-^^- -'-\x) , 



011 p designe un nombre entier. 



Il est evident que la forme de (3) est inapplicable dans 

 le cas particulier ou p est un négatif entier; or dans ce cas 

 notre formule (3) se réduit pour n suffisamment grand å 

 l'expression de 23"' "(ic) donnée au § 5 formule (6), ce qui 

 s'accorde bien avec (4) §21. 



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