Sur les caustiques planes. 189 



inverse d'une conique en choisissant le foyer pour pole (une 

 conchoide), 



8. Nous allons tirer de ce que nous venons de dire une 

 demonstration purement géométrique du théoréme bien connu 

 des trois foyers d'une courbe aplanétique. Une telle courbe 

 se compose de deux ovales de Descartes qui sont des courbes 

 principales des ondes, correspondant aux indices de réfraction 

 n et — w, les rayons lumineux partant d'un point O et se 

 réfractant dans un cercle déterminé. En nous servant des 

 denominations employées dans le § 6 nous aurons, exprimées 

 en coordonnées bipolaires, les équations suivantes des deux 

 ovales de Descartes: 



(1) nr^ — r, = —^h 



(2) nr, + r,='^h. 



Or le cercle réfringent se transforme en soi-méme par une 

 inversion déterminée par O comme pole et a^ — 6^ comme 

 puissance (d'inversion). 11 en résulte que l'ovale de De- 

 scartes représenté par (2) se transformera en celui 

 qui correspond å (1), O étant toujours le pole tandis 

 que la puissance d'inversion est (a^ — h^) ~ — ^— . Par 

 cette inversion le point Og se transforme en un point 0.^ situé 

 sur la droite 0^0^ de sorte que nous avons 



^ («---6')(«'-i) ^ «i^ _ 



^ n^a a ^ 



Maintenant on sait que 



AO'OB' 



A^ et jB^ étant les points qui correspondent, dans une inver- 

 sion de puissance å;'-, aux points A et B. 

 Nous aurons done, en posant MO.^ = r.^ , 



(3) r^ = 



^ ' ^ n'i\ ag 



11 



