394 CRITIQUE ET DÉVELOPPEMENTS 
trajectoire T’, ne peut pas avoir la propriété prétendue par 
M. R. Birkeland, à savoir d’être tangente à un cône de révolu- 
tion au pôle S, et cela précisément à cause des lignes doubles 
que cette surface aura au voisinage des lignes de force pas- 
sant par les points doubles de la trajectoire T. 
L'exemple ci-dessus suffit pour montrer l’inexactitude du 
théorème de M. R. Birkeland; il y en a cependant quan- 
tité d’autres, par exemple le cas des spirales remarquables 
étudiées par M. Villard, et le cas des trajectoires périodiques 
et asymptotiques ‘ situées au voisinage des trajectoires cireu- 
laires correspondant à ÿ — R dans le plan 2 = 0. 
9, L’inexactitude du théorème constatée, il s’agit de savoir 
où est la faute dans la déduction ; on la trouve dans la suppo- 
sition que la surface de lignes de force passant par une trajec- 
toire donnée contient aussi des trajectoires aussi près de l'un des 
pôles que l’on veut. 
Cela n’est point démontré ; on le reconnaît en précisant la 
déduction des $ 2, 3 et 4. 
Soit en eftet T une trajectoire donnée, et soit S la surface 
obtenue en faisant passer par chaque point de T une ligne de 
force. 
Le long de T, les coordonnées x, y, z, considérées comme 
fonctions de l’arc s, vérifient les équations (1) et (2) du mémoire 
de M. R. Birkeland, C étant une valeur caractéristique pour la 
trajectoire T choisie. 
Ensuite, l'équation de la surface S sera comme le dit 
M. Birkeland : 
RYutt+0c= aff) 
— r æ 
où À É ) est une fonction définie par la trajectoire choisie. 
1 Voir, par exemple, mon mémoire : Sur une classe de trajectoires 
remarquables dans le mouvement d’un corpuscule électrique dans le 
champ d’un aimant élémentaire, Archiv for math og naturv, t. XXXI, 
Christiania 1911. | 
