400 + CRITIQUE ET DÉVELOPPEMENTS 
où L, M et P, qui définissent l'indicatrice de la surface S au 
point M, sont donnés par les formules que nous venons de trouver. 
Cela posé, voyons quelle sera la conséquence de la relation de 
M. Birkeland 
6, + D = x 
Cela veut dire que sur la surface S sera située, outre la tra- 
jectoire T correspondant à l’angle 6, encore la trajectoire T° 
correspondant à l’angle x — 6. Les valeurs de L, M et P tirées 
de cette dernière trajectoire doivent donc être les mêmes que 
celles tirées de la trajectoire T. Or, en remplaçant 6 par 7 —6, 
M sera changé en 
sreû ee B — À 
2 sin Ü 
ce que qui sera égal à l’ancienne valeur seulement quand 
(B — A) sin 29 cotg 6 — 0 
sin 2@ Cotg Ü + = cos @ — = sin o) cotg” 
Donc, pour que le théorème de M. R. Birkeland soit vrai en 
général, il faut que A — B partout sur les surfaces équipoten- 
tielles ; celles-ci seront donc des surfaces dont tous les points 
sont des ombilics et se réduisent donc à des splières. 
Donc la relation 6, + 6, — x est fausse dans le cas général 
indiqué par M. R. Birkeland, c. q. f. d. 
4. Comme la relation (17), dans le mémoire de M. R. Birke- 
land est déduite d’un théorème faux, elle sera fausse aussi. 
Nous allons le voir directement, dans le cas de deux pôles 
égaux et opposés. 
On a alors (la relation 19 chez M. Birkeland) : 
Nr 3 + 1 (y? E 1) y/ (ax E By) — R°*(1 En 7°) 
mn on 7 art ytrV@ tn RU») 
avec les 3 constantes arbitraires &, fi, 7, où 
Tr, = y R° TENTE 2° 
= YR+GT+2) 
Posons ici 
z— R.co8 @, a — + A sin % 
y = R sin y, B = A COS @ 
