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Oonstruction du huitiéme point commun aux surfaces 

 du second ordre qui passent par sept points donnés. 



Par 



H. Q. Zeuthen. 



(Voir p. 227—236.) 



iious désignons par 1,2,3,4.5,6,7 les points donnés, par 

 a,b, c, d les cotés du quadrilalére gaiiche 12 341, parJ,^, C,J> 

 leurs traces dans le plan 5 6 7. La figure représente les points 

 et les droites de ce plan, oii les constructions s'exécutent. 



Lemme. Si les points 2, 3, 5, 6, 7, et les droites aet c 

 joignant 2 et 3 aux points 1 et 4, sont donnés, le plan 

 148 passera par un point fixe F dii plan 5 67. 



I. Demonstration par la géométrie énumérative: 

 L'enveloppe des plans 148 sera de la premiere classe parce 

 qu'un seul de ces plans passe par une droite rencontrant a et 

 c. Si 1 et 4 coincident avec les traces A et C de a et c, le 

 point 8 sera un point dune conique de ce plan, et le plan 148 

 coincidera par conséquent avec le plan 5 6 7. 



II. Demonstration géométrique. La droite 48 sera 

 une corde de la cubique gauche passant par 1,2,3,5,6,7 

 (Théoréme de Hesse), et par conséquent une génératrice de l'hy- 

 perboloide passant par cette cubique et par la droite c. Si le 

 point 1 reste fixe pendant que 4 se meut sur c, la droite 48 

 renconlrera une droite fixe / passant par le point 1. De méme, 

 si 4 reste fixe pendant que I se meut sur a, 18 rencontrera 

 une droite fixe /' passant par le point 4. On en déduit notre 

 lemme. 



En placant le point 1 å la trace A on aura une droite / 

 joignant A au point H, ou la conique B b^l A rencontre -BC; 

 K étant de méme le second point d'intersection de BA avec 



