62 



for ^^ -, gjældende for m > n < O, og i Slutningen (I^aj;'. 169 — 



162) af sin 2clen Afhandling paavist, hvorledes Formlen ved 

 Hjælp af den «Complementære Function» kan bringes til Anven- 

 delse for hvilkesomlielst Værdier af m og ?i, udvikle /(cc) i Række 

 efter Potenser af x og differentiere denne Kække. Der er des- 

 uagtet flere Omstændigheder, som gjøre, at Liouvilles Methode 

 forekommer mig at være meget comphceret og at maatte i An- 

 vendelserne medføre megen Usikkerhed. Den største Vanske- 



o'"f{x) 

 lighed er vistnok den, at ' ikke altid har een bestemt og 



endelig Va-rdi, men kan, bortset fra den Complementære Func- 



tion, have tiere, ja endogsaa uendelig mange Værdier, saa at 



det i ethvert foreliggende Tilfælde gjælder om al finde den rette, 



o: den, der vedkommer Problemet. Dette følger allerede af 



06 e"-^ ^"' cos ax ... 



Grundformlen, idet f. Ex. r- har 6 Værdier. — ^-— — bliver 



dx^ ^^'" 



m7r\ 

 (Pag. 119 — 124 osv.) ifølge Grundformelen = a'" cos (o.r + — |, 



som for m=l har 6 Værdier. Da imidlertid cos ax er = 



d'" Gosax , iritTi \ 



cos i — ax), bliver — ,, ogsaa =( — l\"' a'" cos i— ax], 



ox'" \ -i ' 



hvorved der for m=l faaes i del Hele 12 Værdier; men der- 

 med er man endda ikke færdig; thi man kan f. Ex. have 



, d'" cos ax , „ 

 cos ax = j) cos ax — {p — I) cos ax, hvorved — j-^^ — kan taae 



d'" sin ax 

 uendelig mange Værdier. Noget Lignende gjælder om — -^-^^ — 



og i mangfoldige andre Tilfælde, og Lionville bemærker (Pag. 1 24) 

 selv herom: «Cette ambiguité des valeurs des differentielles du 

 sinus et du cosinus est en effecl so u vent e m barrassanie. » 



En Ulempe af hgnende Art forekommer mig at være den, 

 at man for den endelige Kække 



^ = G'o 4- C,x -f 0,x' 4- 



