83 



i Rækken ere positiv, eller negativ hele, ville 



d^f^x-^a) d"'f(x+a) 



— 1 _ og— jt — ; — z:r differere ved Led af Formen 



dx" dix + a)"* 



<p(m^x) -= x~"*~^ ZCr-x~''\ eller af Formen ^, (wi,a; -h a) = 



{x •\- a]-""-^ iKr-^x -{- a]-^' med bestemte Coefficienter 



Cr', eller ivV-. Det Samme gj ælder med Hensyn til 



constante Led (n==0) i/(a; + a). 



Dette ses for n = n' let af den foranstaaende Udvikling, 



^1* ^x -4- Q,]^' 



idet Rækken for (a: + 01"' bliver endelig, medens —^ -— = 



' dix + a)"* 



' , — -^ (a; -I- fl )"'-'" kommer til at indeholde Led af Com- 

 ^(1 + n' — m) 



plementet <p\m^x), begyndende med 



• , ic~"'~^ De foranværende 



{\ -\- n'] . Y [\ -\- n' — m) • — m—\.» 



d"' {X ■+- a)"' r(l 4- n'l 



Led af Rækken for ,/ / ' = ^/ " ^ ' (a;-f-a)"'-"' efter 



stigende Potenser af a ville netop være = j-^ — , og disse 



Led, der ikke ere af Formen ^(m,x), ville derimod kunne 

 bringes paa Formen ^, (m, x -\- a). Naar m = m', bortfalde Le- 

 dene af Complementet (/;(m',x). 



Naarn = — (1+n'), bevises Rigligheden af de ved Formlen 

 (13) gjorte Bemærkninger ved al udvikle {x -f a)-^-"' i Række 

 efter sligende Potenser af a og differentiere efter (o)'. Man 

 finder da 



d^jx+a)-^- "' d'"(x+a)-^-'*' (— 1)»'-H ym-un' i^_±_^ 



dx"* d{x-\-a\'" "^ [n'].Y(- n'-m) x 



som kan bringes saavel paa Formen ^(m,x) som paa Formen 

 ^,(m,aj4-a), idet den største Polensexponent til x, eller til 

 {x + a) bliver -f- m -r- 1 -r- (1 + n'). 



'I 11. Der staaer endnu kun tilbage at paavise Mulig- 

 heden af den fuldstændige Integration af de i Slut- 

 ningen af g 9 omtalte lineære Differentialligninger af 



