90 



Det i g 5 incloholdte Bevis for Almengyldigheden 

 af ( G ) s I i I i e r nemlig kun den ene I-' o r d r i u g til a , at 

 (x — t)"' -^ skal k n n n e udvikles efter Potenser af t 

 med stigende Potensexponenter. 



At denne Tordring er stillet følger deraf, at det er be- 



C' 



bemærket, at \ (x — tj"' ~ ^ f{i) dt , hvori b er en \ilkaarlig Con- 



stant, indeholder Led af Complemenlet ^( — m^x) = x"'~^ l'Cr'X~''\ 

 hvilken Bemærkning kun er riglig under den Forudsætning, at 

 {x — t)"' - ^ udvikles med positive hele I'olensexponenter for t og 

 ikke for o;. — Den eneste Betingelse for a er altsaa den, at 

 {x — tj'"-^ skal kunne udvikles efter stigende Potenser af ^ 

 Cnder sin Variation mellem a og x maa derfor t bestandigt for- 

 blive numerisk < .x, o: a maa i numerisk Henseende være 

 <a;og kan altsaa ikke va;re = + 3c. Al a ikke kan være 

 uendelig, vil ogsaa kunne ses af Aum. til §5, som viser, al venstre 

 Side af (tj) for den specielle Værdi a = » og for de specielle 

 Functionsformery (o;), der tillade en Uækkeudvikling efter Potenser 

 af e^ med negative Exponenlcr (/(ac)=^0), bliver = Liou- 

 villes Integral med Index m, taget med [lensyn Ul x af f(x). 

 Almengyldigheden af Formlen (6) blev i g 5 først directe 

 bevist for saadaiine Funclioner /lic), hvis Uækkeudvikling efter 

 Potenser af te alene indeholdt Potensexponenter, der vare > -^ I, 

 saa at altsaa lim ef(e] = O, og Beviset blev dernæst udstrakt til 

 alle Functioner, altsaa ogsaa til saadanne, hvis Bækkeudvikling 

 efter Potenser af æ kunde indeholde Exponenter, der \are < -i- L 

 Den sidste Del af Beviset kunde paa det daværende Stadium af 

 Fremstillingen ikkun føres paa indirecte Muade. Ved Hjælp af 

 den senere erholdte Formel {p) i g 7, der er gjæddende for 

 hvilkesomhelsl positive, eller negative Værdier af m, kan nu 

 vgsaa dette Bevis let fores directe. Det vil i dette Øiemed 

 være tilstrækkeligt i (6) at sætte f{t) = Ct", idel n er et hvilket- 

 somhelst Tal. Ved Rækkeudvikling af {x — t)'"-^ efter sligende 

 Potenser af t laues du 



