130 



Naar m = in' (o: positiv hel), og p' > m', vil III' give 

 del fuldstændige Integral af III, hvori n -^ — m' -\- p' . 



Naar r/i = m', og p' <vi' — 1, faaes Integralet af III. a; 

 men Betingelsen r' <. p' — \ er da ikke tilstrækkelig; thi, for 

 al Coefficienten til x-''' i delte Tilfælde skal kunne blive = O, 

 maa man have r' < w' — 1 — p'. 



Man maa altså a, naar m = ni', og p' < m' — 1 , have 

 r'<p' — I, eller r'<Cm' — 1 — p', eftersom m'^ 2 p'. Form- 

 lerne III', a antage da, ifølge Formlen (3)' i § 8, Formen 



' ~ '^ [r'][m'-l-r'p''' 



III", a 



[m' -\-i'p'— 1 — r'\ '-^ "» 

 /P_ ^ (i>'-l-r-| ^^(r-) _ 

 \m'-\-i'p'— 1 — r'\ ''""' 



B \ S —r~ ; ^1 = 6V 



Naar m'=^1p'^ falde de 2 høiere Grænseværdier for /•' 

 sammen, saa at r' ligesom i det almindelige Tilfælde III', a, 

 altid kan have de p' Værdier af 0,1,2, ... (/>' — !). Ligningen 



^4-«^-'"y = Ill.b 



vil derfor være fuldstændigt integreret ved 



y = x^P'-^ 2' a:-''lCr.x-P'-\- I A.. x''P'-\-lx£ ^i.x''" 



r' = \ j' = ' ('=0 



n(^')_ (-«)''^^ '-^HPjI-^'U \iipk 



\^'^\)p'.\.r'][{i' + ->)p'-\-r'\' \r'] '' ^"* "^ 



(r')_ K' p'-l-r'l (ro j.ir'>''=\^'-' 1 . (r') 



som giver en i Almindelighed meget stærkt convergerende Række. 

 Den arbitrære Conslant 6'p'_i er Værdien af y for o; = 0. 



En lineær Differentialligning af brudden Orden 

 af Formen 



