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inconleslablemenl est le plus pralique et le plus simple — que 



d'" fix) 

 ses lormules pour — r ne duivent pas rerilermer des termes 



de la fonction complémenlaire, l;i formule fondaraentale de M. 



Liouville ne peut alors s'acrttrder avec celle de M. Kelland pour 



<?"' x" d"* i" 



~~ . car celle-ci, pour n = 0. 1. 2. 3 . . . . dontie — == O 



dx'" dx'" 



Jim t,ox 



O'" e" 

 JX'" 



et, par consequent aussi. - 



La mélhode que nous allons exposer conduit a des formules 



d"'f{x) 

 simples pour ■ . et résoul d'une maniére facile et compléte 



tous les prolilémes qui, en general, peuvent étre résolus par 

 differentiation å indice quelconque. 



§ 1. Une petite leltre latine avec un accent au -dessus 

 {a\ b'. c' . . . .), designe partout dans ce méiuoire un nombre 

 enlier posilif (ou 0). et une pelite lettre grecque (a, y9, ^ . . . .), 

 une quatitité positive (ou 0), plus petite que l'unité. 



La fonction «a», définie par 



,.a.. = a (a— 1) (a — 2) ....(— a) (1) 



, " a» 



est infinie ou indeterrairiée. mais donne pour les expres- 



»a -{- k'o 



sions times representees dans (2j. La grandeur == a' (a' — 1) 



mO" 



....2-1 est aussi désignée par [a']. 



La fonction y{a) est délinie en partie par la relation ^(a) = 



(a — i)-j'ia — i), ou, suivant (2), par la formule (3), en partie, 



pour les Valeurs reelles de a. par la formule (4). Comme -^(l) = 



Fil) -= 1. on aura -^(0). ^(-1), r' — 2). r(— «')7 



.. r( — a'j 

 = + 00 . tandis que a la valeur finie indiquee dans la 



— r(—b') 



formule (a). Pour des valeurs reelles de a. la figure montre 

 ^(a) comme l'ordonnée dans un systéme de coordonnées rectan- 

 gulaires a et yia). 



Lorsque a est imaginaire = h -^ c V — 1, ^(a), si fc<;0, 

 peut d'abord å Taide de la formule (3) , élre exprimée par 

 ^Ifc' -|- /ij -|- c]/ — 1), qu'on déterraine ensuite au raoyen de la tor- 

 mule (1)' qui est une f(»rrae plus générale de (4). 



