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§ 2. Les formules (2) et (3), si oii leur upplique la diffe- 

 rentiation orciinaire a indice enlier positiT ou négatif, donncnt 

 l'équation (6), qui est une forme speciale de 



= (7 LI L x"~"' (5) 



dx'" ^ ( 1 + n — wj) ^ ' 



formule que nous prendrons pour base de la differentiation å 



indice quelconque (reel ou imaginaire). 



dP d'"-P Cx" d'" Cx" 

 Comme elle donne — • = , lordre de dif- 



dx" dx"'-" dx« 



férenliation est indifferent; mais, puisque y( — a'} = + co et 



est fini, elle ne sera pas directement applicable dans le 



cas oii n = — {i-\-n'). en raéme temps que m^ s' — n'. 



§ 3. Toute differentiation a indice m, exécutée 



d'aprés la formule (5) ou une de celles déduites de (5) 



dont il sera question plus loin, doit toujours élre 



complétée avec une fon etion arbitraire ip(m.x)^ qui 



disparait par une differentiation å indice — m. Nous 



d'^f(x) 



appellerons celte fonclion arbitraire le ncompiémentD de • 



dx"* 



{d"'f{x)\ 

 Done, SI Ion designe par { } ula fonclion complete 



dérivée de f(x\ par differentiation a indice m par rapport a x«, 



d'"f(x) 

 et par la «fonction incompletedérivee de f(x)...<i. 



]d'"f(x)\ _ 

 1 dx« j 



d"* f(x) 



" +^(m, X) (A) 



dx 



d"'f{x) , 



etant donné par (5) ou par d'autres formules deduiles 



dx 



de (5), tandis que le complément ^(m, x) est arbitraire et de la" 



forme 



^(W, X) = X-'"-' 2" Cr'X-^' (B) 



/■'=0 



Dans beaucoup d'applications (voir art. 1, 2, 3, 4), on aura 

 ^(iw'-f ^, x) = et ^(— m'— /7., x) ==a;'«'+^-'(Co + Cia;-' . . .-h 

 C«/_i a;~ <"•'"!) ; mais, en general, le complément ^(ni,x) 

 pourra étre complétement déterminé par des con ditions 



