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donnees. qui devroni elre satisfailes par } } pour 



' ( dx'" ) 



certnines valeurs de m et de x. 



§ 4. II nous sera maintenant facile d'établir une formule 

 répondant a (5) pour le cas oh (o) ti'cst pas direclement appli- 



cable, a savoir lorsque n = — (I -\-n') et m ^ s' — n'; car si 

 Ton différenlie x-(^+''') = lim. I (a; -('+«') + ^ + a^^- (!+»')-£) d'aprés 

 (5), el qu'on élimine les termes qui, siiivaiit (B). seronl de la 

 forme ^'(m,a;), on aura la formule (5)'. Les formules Irés simples 

 (5) et (5)' nous permellent de differentier une fonctiori quelconque 



§ o. D'aprés les formules (6) et (7), dans lesquelles a ne 



(/'"fix) 



peut étre infini, peut aussi étre calculé par une inlégrale 



dx'" 



définie; mais , tandis que les formules (5) et (5)' ne peuvent 



donner des termes de la forme ^(m, a;), ce sera généralement le 



cas pour les formules (6) et (7). II y a cependant beaucoup de 



cas 011 (6) et (7) donneront exastement le méme resultat que (5) 



OU (5)'. Si, par ex., un développement de f(x) en serie suivant 



d'"f(x) , ,, , 



des puissances de x donne lirnes f (s) = O, , calcule a 



Paide de (6)' ou de (7)', ne renfermera pas de termes de la 

 forme <p(m, x). 



§ 6. La formule (8) donne le développement en serie de 



d"*/" {x) f (x) 



. La serie sera convereente lorsque m = in', ou 



lorsque f^ (x) pourra étre développée en serie daprés la formule 

 de Maclaurin, ou que lim^af^{s)f2(e) == 0. 



La relation (n) déduite de (8) et de (5) est de rigueur, soit 

 qu'on ait m = m' ^ ou p = p' , ou n-j-p> — 1. 



§ 7. A l'aide de la formule (9), qui ne renferme pas de 



d"'f(x) 

 termes de la forme y';(m, x), on oblienl exprime en f(x), 



f'(x), /""(æ), .... La serie est convergente lorsque hm^sf(£) = 0. 

 La rotation {p) est déduite des formules (9) et (o). 



