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d"'f{x) 



S 8. La comparaison des différentes expressinns de — 



dx'" 



peut donner des resultats intéressanls, par ex. en ce qui concerne 

 la sommation des series, en supposanl que les formules employées 

 n'introduisent pas des termes de la forme <p{m^x). C'est ainsi que 

 d'expressioiis différentes de telles formules on a tiré les relations 

 (n) el (p), et la, relation (r) se tire de la méme maniére des deux 



d"*f{x) 

 expressions (</) et (7') de , qu'on obtient a l'aide des for- 

 mules (9) et (o). 



En différentiant x"'lx ==^ lim. — d'aprés la formule 



(5), on obtient la formule tres importante (10), qui, en quelque 



sorte, supplée les formules (o) et (5)', et donne une expression 



d"' x" Ix 

 tres simple pour . Si, dans la formule (8), on pose f^ix) 



d'" æ" Ix 

 ■■= Ix et f^ix) = X" ^ on aura la formule (10)', qui donne — 7"^" 



exprimé en une serie qui sera convergenle lorsque m ■^= m' ou 



d"' x^lx 



n> — 1. De ces deux expressions de , on tire alors 



^ dx'" ' 



facilement les formules (3)', (11) el (12) qui sont importantes 



d y (o) 

 pour la fonction r' {a) == , de méme que les formules (t) 



+ m' '^^ 



d — x^ ix 

 pour ; ■. et, relativemenl å la sommation des series, les 



dx 



relations (u), {v) et (v)'. 



§ 9. II comprend des recherches plus détaillées sur la nature 

 et la determination du complément. Lorsqu'une fonction f(x) est 

 différentiée successivement aux indices mj , m^ , • • • »»,', '• faut 

 å chacune de ces difTérentiations successives ajouter les complé- 

 ments ^j(mi,a;), ^2 ('"2 5 ^) • • • • S^<'('"«'i ^) • Quoique le pre- 

 mier de ces complémenls puisse avoir une aulre signification , et 

 étrc arbitraire dans un aulre sens que les suivants, tous ces 

 complémenls pourront cependant élre détcrminés par des condi- 

 tions de la méme nature, comme, par ex., en posant que 



I }, pour certaines valeurs de m et de x. doil satisfaire a 



I dx'" y ^ ' 



des conditions données (prendre des valeurs données). Dans la 

 plupart des problémes qui se présenlent, on aura a determiner 



