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id"'f{a-)] , , 



f(x) d'aprcs < -} =-- l''(x) ou , plus gétiéralement, d apres 



( dx'" ) 



^/d"'^f{x) d"'^f{x) \ n • . - r AfT' 



hl 1 , ....a; -= O, qui est unc cquation diffe- 



V dx"" dx'"^ 7 y 1 1 



renlielle d'iiii ordre quelcoiique. 



§ 10- En gétiéral, oii a 



d"'/"(x4-a) _ d"'fix-\-a) 



dj^' ~~' dix-taj"' 



mais, lors(|ue le développement en serie de f(x-\-a) suivanl des 



puissances de (x -\- a), renferme des exposanls qui sont des nom- 



hrcs enliers posilifs ou négalifs (ou 0), — — ^ differera de 



d'" fix -\- a) 



- i)ar des termes de la forme d>{m.x]^ ou de la forme 



dix-^aj'" yy^ ^ >^ 



(f>(m, x-\-a). 



§ 11. Pour justifier par un exemple la possibilité de l'inlé- 

 gration, menlionnée dans le § 9, d'équations différenlielles d'un 

 ordre quelconque, j'ai intégré l'équalion 



— ^ 4- ax" V = O 

 dx"' 



»'=00 



a l'aide de la formule (5), en posant y = x'> 2" Ai-x''''. Lorsque 



(•' = o 



n—- — m, on aura y = ^CnXi ^ q étant donné par —~-,-t- -f- a 



= 0. Si n^ — »n , l'intégrale complete y sera la somme d'un 

 nombre infliii d'intégrales particuliéres, dont chacune renferme une 

 conslante arbilraire, et est représentée par une serie suivant des 

 puissances de x. Pour passer de la å m = ?«', c'est chose facile. 



II. Applicatious de la niétkode. 



Introduction. Les principes que nous venons de poser 

 pour la differentiation å indice quelconque seront, dans ce qui suit, 

 exposés en parlie sous une forme plus complete, et éclaircis par 

 une serie d'applications. Nous avons choisi de préférence tous 

 les exemples traités par M. Liouville, pour montrer que notre 



