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Une équation difTérentielle linéaire de la forme IV poiirra en 

 general s'intégrer de la méme manicre quo III, par conséquent 

 en employant la formule (o) dans la subslitiilion 



i' = 00 



y ^ {x + cy 2' Ai.{x-\-cy'p 



i' = 



notamment si les termes de l'équation peuvenl se diviser en 2 

 groupes , de facon que (n,- — m,') soit constant dans chaque 

 groupe isolémenl (voir Ex. 2). 



Lorsqiie IV prcnd la forme plus speciale V, on a rintégrale 

 compléte tres simple V, qui est une generalisation du resultat 

 connu pour »i,- = r/i',- ■ L'intégrale V est en méme temps une 

 forme plus générale de Tintégrale III", qui est employée dans 

 i'exemple 1. 



L'exemple 2 montre la marche systématique, mentionnée plus 

 haul, que j'ai suivie dans Tintégration des équations de la forme IV. 

 Cet exemple a été traité d'une autre maniers par M. Liouville; 

 mais le resultat auquel il est arrivé ne s'accorde pas avec ceiui 

 que j'ai trouvé, et je fais voir qu'i! est inexart. 



Art. 6. M. Liouville a traité l'équation differentielle du 2^ 

 ordre VI par sa méthode de differentiation a indice quelconque: 

 mais sa fonction complémentaire, dans des applications analogues, 

 conduit facilement a des erreurs, qui sont indiquées dans une 

 remarque å la fin de cet article. 



Par la differentiation de VI, suivant la formule (8) du § 6, 

 on trouve i'intégrale IX, ou m a une des valeurs mentionnées 

 dans VII, tandis que z est déterminé par VIII. On déterraine 

 les constantes arbitraires Cr> en les introduisant dans VI, Lorsque 

 les valeurs de z répondant a m^ et å m^ sont désignées par z^ 

 et 22, l'intégrale peut aussi étre représentée par IX', si, comme 



dans I exemple 1, — est de la forme éJ — rn, — l.x), ou 



d— "•'— iz, 



^ — Hl 5 ^^ ''' forme <^'^{ — »»2 — 1 5 3;) . Cependant, on n'ob- 



tient souvent qu'une intégrale particuiiére. Des équations qui 

 peuvent prendre la forme VI, nous signalerons Via, VI b et VI c. 

 Lorsque les constantes a et 6 sont nulles en méme temps, 

 VI peut prendre la forme \, q^i est intégrée dans XIII, z y 

 étant déterminé par XI et XII. On déterraine ensuite les con- 

 stantes Cr' de méme que /jfj et l{^ en les introduisant dans X. 



