157 



ved en enkelt Logarithme er senere behandlet af Tchébychef 

 (Liouvilles Journal 1864) og af Zolotareff (Math. Ann. V)i). 

 Liou ville har i Journ. de l'école polyt. cah. 22 integreret (1), 

 forsaavidt den lader sig integrere ved algebraiske Funktioner. 

 Den samme Opgave er med Benyttelse af geometriske Hjælpe- 

 midler løst af Dr. Zeuthen (Compt. rend. 10. Maj 1880). I 

 cah. 36 af Journ. de l'école polyt. have Briot og Bouquet 

 integreret Ligningen (1) i de Tilfælde, hvor den kan tilfreds- 

 stilles ved entydige algebraiske, enkelt eller dobbelt periodiske 

 Funktioner. Svenskeren Rydberg har i Lunds Universitets 

 Aarsskrift for 1879 angivet Betingelserne for Existensen af et 

 algebraisk Integral, og endelig har en anden svensk Forfatter 

 Julius Møller leveret en Doktorafhandling med Titel "Inte- 

 gration af differentialequationen F\ii, ^') = O med duppel- 

 periodiska Funktioner, Lund 1879". Den Behandlingsmaade, jeg 

 i det følgende har forsøgt, er rent funktionstheoretisk. 



1. 



du 

 Af (1) faar man -i- = <p(u), 



hvor (Ij[u\ er algebraisk. Sætter man 



^}J[u) ^ 

 saa har man \(p[u]du = z-^ C. (2) 



Skal u være en algebraisk Funktion af z^ maa z ogsaa være en 

 algebraisk Funktion af u. Integralet (2) maa da tilfredsstille 

 visse Betingelser. Dette Integral har i Almindelighed uendelig 

 mange Værdier for hver Værdi af u. Disse lade sig dele i 

 Grupper svarende til de forskjellige Værdier af (p[u)^ saaledes 

 at Forskjellen mellem hvilkesomhelst to, som høre til samme 

 Gruppe og svare til samme Værdi af ^(r/), er en Sum af hele 

 Multipla af Periodicitetsmoduler for Integralet (2)-). Naar z skal 



•) Se desuden Zolotareff: »Theorie des nombres entiers coniplexes.« 



St. Pélersbourg. 

 *) K 6 nigsberger: Theorie d. ell. Fct., sjette ForelæsniDg. 



