158 



være en algebraisk Funktion af u, maa Integralet for enhver 

 Værdi af u kun have et endeligt Antal af Værdier. Dertil 

 kræves, at alle Periodicitetsmoduler forsvinde. 



Naar denne Betingelse er opfyldt, kan man omvendt vise, 

 at z er en algebraisk Funktion af u. Integralet (2) kan for 

 endelige Værdier af u kun blive uendeligt, hvis (p{u) = oo . 

 Sker dette for m = a, saa har <p[u) i Nærheden af m = a en 

 Udvikling efter sligende Potenser af u — a, som kun inde- 

 holder et endeligt Antal Led med negativ Exponent. I Udvik- 

 lingen forekommer intet Led af Formen 



c 



thi Omgang om ii, = a vilde da , i Strid med Forudsætningen, 

 indføre en Periodicitetsmodulus c . I-kI. Ved at udføre Integra- 

 tionen i (2) faar man for z en Udvikling efter stigende Potenser 

 af u — a, kun indeholdende et endeligt Antal Led med negativ 

 Exponent eller maaske slet ingen saadanne Led. Hvis z her 

 bliver uendelig, kan den altsaa kun blive uendelig af en endelig 

 Orden. I Nærheden af m = oo kan (p[u) udvikles efter aftagende 

 Potenser af u^ saaledes at der kun forekommer et endeligt Antal 

 Led med positiv Exponent eller slet ingen saadanne Led. Blandt 

 Leddene med negativ Exponent kan — ikke forekomme af samme 

 Grund som før. For. z faar man en Række efter aftagende 

 Potenser af u, og z bliver ogsaa her kun uendelig af en endelig 

 Orden eller slet ikke uendelig. I et Punkt 6, hvor ^{u) ikke er 

 uendelig, fremstilles z ved en Række efter stigende Potenser af 

 IC — b kun indeholdende Led med positiv Exponent. z har med 

 de her gjorte Forudsætninger det samme Antal Værdier som (p{v). 

 Da saaledes z kun er uendelig for et endeligt Antal Værdier 

 af u og hver Gang kun af en endelig Orden, og da z desuden 

 overalt har det samme endelige Antal Værdier som <p(u), saa er 

 Ligningen mellem ^i« og z algebraisk, og med Hensyn til z er 



den af samme Grad som (1) med Hensyn til ^ . 



