160 



Følgelig kan man bestemme Tallet u. Nu indsættes i (3) for 

 r^'erne Polynomier af [x^^ Grad med ubekjendte Koefficienter. 

 Disse Koefficienter bestemmes ved at -p fundet af (3) skal 



dz 



stemme med -r; i (1). Er Overensstemmelsen mulig, saa existerer 

 der et algebraisk Integral, er den umulig, saa existerer der 

 intet. Dette maa da hidrøre fra, at Periodicitetsmodulerne ikke 

 alle forsvinde; thi disse Størrelsers Forsvinden er den nødven- 

 dige og tilstrækkelige Betingelse for Existensen af et algebraisk 

 Integral. 



A n m. Det er vel muligt ved tilnærmet Beregning af 

 Periodicitetsmodulerne nogenlunde sikkert at afgjøre, om de 

 forsvinde eller ej. Denne Regning er dog i Reglen ikke meget 

 simpel. Dog gives der nogle særegne Tilfælde, hvor man med 

 Lethed kan overbevise sig om Existensen af et algebraisk Inte- 

 gral. Sammenhængen dermed er følgende. Naar Graden af 

 (1) i y; er w, vil y betragtet som Funktion af u kunne entydigt 

 fremstilles i en Riemannsk Flade med n Blade. Ved et »enkelt" 

 Forgreningspunkt forstaas et Punkt, hvor to Værdier af y„ ^sXåe. 

 sammen, og to Blade af Fladen ere sammenhængende. Et For- 

 greningspunkt, hvor m Værdier af -y- falde sammen, regnes for 

 m — 1 <i enkelte". Er nu q Antallet af "Tværsnit", som behøves 

 for at gjøre Fladen « enkelt sammenhængende", g Antallet af 

 « enkelte" Forgreningspunkter, saa er 



q =-- g~2(n—l). 

 Er denne Størrelse Nul, og give Uendelighedspunkterne ingen 

 Anledning til Tværsnit, saa forekommer der ingen Periodicitets- 

 moduler, og det er da sikkert, at der existerer et algebraisk 

 Integral. (Se Durége: Theorie der Functionen einer complexen 

 verånderlichen Grosse, Leipzig 1873, Side 182.) 



3. 



Exempel. 



