175 



Primtallenes Hyppighed i Nærheden af en given Værdi x i det 

 hele taget er omvendt proportional med l.æ, saa at deres 

 Mængde indtil Grændsen x tilnærmet vil være \^ . Hermed 

 stemmer godt, at Bessel i det Brev (af 26de Aug. 1810), hvori 

 han meddeler Gauss sine Undersøgelser af Integrallogarithmen, 

 skriver: «Sie errathen leicht, mein theuerer Freund, warum icli 

 "Ihnen diese Entwickelungen mittheile; Sie åusserten einmal 

 »den Wunsch, die Function li.x fiir sehr grosse æ zu kennen, 

 «um die sehone Bemerkung des Zusammenhanges mit den 

 »Primzahlen daran priifen zu konnen. Ich håbe also Werlhe 

 «von U.x bis zu 1000000 berechnet . . .», og denne Betyd- 

 ning af Integrallogarithmen omtales ogsaa paa samme Tid i 

 Brevvexlingen mellem Bessel og Olbers , saa Gauss ikke har 

 gjort nogen Hemmelighed af sin Opdagelse. 



Der gik lang Tid , inden man kom ud over denne Iagt- 

 tagelse (hvilken iøvrigt ogsaa Hargreave gjorde 1849). Det 

 første Fremskridt skyldes Tchebychev, der 1848 i en til Akade- 

 miet i St. Petersborg indsendt Afhandling beviste, 1) at Funk- 

 tionen ^(x), der angiver Mængden af Primtal mindre end a-, vil 

 mellem Grændserne x = 2 og o; = oo uendelig mange Gange 



tilfredsstille ^ (x) > \ .;^ - ^^ og ^ (æ) < i ^^ -|- ^ , hvor 



y.x {i . xj" ® ^ ^ ' y .X ' (i.x)'- 



lille man end tager det positive Tal o. og hvor stort man end 



tager ?i; 2) Udtrykket -^ l.x kan for .?; == co ikke have 



nogen Grændseværdi forskjellig fra — 1. Lidt senere (1850) gik 

 han endnu videre; ved 6(-v) betegner han Summen af de natur- 

 lige Logarithmer af alle Primtal, der ikke overskride x, og ved 

 </>(x) Summen e{æ) + e(x'^) -\- 6(x^) + 0(æ-*) + . . . , samt ved 

 TSummen af naturi. Log. til de hele Tal, der ikke overskride .r; 

 han beviser saa, at ^ (a-) -|- ^ ( yj -{- ^'' ( yJ -[- . . . == T'(x)] ved 

 Hjælp af denne Sætning finder han saa Grændseværdier først 

 for </>(æ) og derefter for 8{x) og for Antallet af Primtal mellem 

 givne Grændser I og L , samt en Betingelsesligning mellem I, 

 L og /j, der maa være tilfredsstillet, saafremt Antallet af Primtal 



