176 



mellem I og L skal være større end k\ ved saa at tage h = O 

 naar han at bevise Bertrand's Postulat, at der, naar w > 3, 

 ligger et Primtal mellem n og 2n — 2 ; endelig beviser han 

 følgende Sætning: Naar Funktionen F{æ) er positiv for enhver 

 Værdi af .r, der overskrider en bestemt Grændse, saa er Kon- 

 vergensen af Rækken 



F(1) F[Z) FjA) F{b] ^ FiQ) , 

 2'T"3^4"^o ' 6 ' 



en nødvendig og tilstrækkelig Betingelse for Konvergensen af 

 Rækken 



F(2) + i^(3) + F{b) + 7^(7) + F(n) + . . . 



i hvilken Argumenterne dannes af Primtallene større eud 1, og 

 ved Hjælp af denne Sætning fmder han først en tilnærmet Værdi 

 for Rækken 



21.2 ' 3/.3 ' 5/.5 ' 7/.7 



og derefter Grændseværdier for Antallet af de Primtal, der ikke 

 overskride en given Grændse L. Disse to Afhandlinger findes 

 i iMémoires de TAcadémie de St. Pétersbourg (Savans étrangers), 

 T. VI og VII, og ere optrykte i Liouville's Journal, 17de Bind; 

 de i den 2den Afhandling fundne Grændsebestemmelser ere 

 ikke snevre nok til at have praktisk Betydning. 



Et langt betydeligere Fremskridt, end Tchebychev, gjorde 

 Rieniann 1859 i en Afhandling, som han indsendte til Ber- 

 liner Akademiet, og som findes saavel i dettes Monatsberichte 

 for 1859 som i Riemann's Mathem ati s che Werke. Han 

 gaar ud fra den Sætning, at Productet 77 1 _i j , naar s 



enten er reel >> 1 eller imaginær med den reelle Del >• 1, og 

 naar der for p indsættes alle Primtal, er = Summen Un~\ 

 naar heri for n indsættes alle hele Tal. Ved en genial Be- 

 nyttelse af bestemte Integraler mellem imaginære Grændser ud- 

 leder han heraf en Formel for Mængden af Primtal under en 

 given Grændse. At der stilles store Fordringer til Læseren, 



