178 



Rækkeudviklingen gives ikke. Funktionen g(t] kan kun 



forsvinde, naar den imaginære Del af t ligger mellem + -^ og 



-. Om Rødderne i Ligningen g{i) = O bemærkes, at Antallet 



af dem , hvis reelle Del ligger mellem O og T, omtrent er 



T T 



-^{1-7, 1), Og at formodentlig alle Ligningens Rødder ere 



reelle. 



Alt dette maatte anføres, for at Læseren kan forstaa Rie- 



mann's endelige Formel for Primtalmængden ; han finder først, at 



fix) = lUx) - i-{ii(J + ") + u{J - "S) + \-^, . -^ H- i-m, 



\x~ — I xl.x 



naar der i 2"" for « indsættes alle de Rødder i Ligningen 

 (f(a) = O, der ere positive reelle (eller indeholde en positiv 

 reel Del), og disse Rødder ved Summeringen ordnes efter 

 deres Størrelse; dette sidste er nødvendigt, fordi Værdien af 

 2"^ er afhængig af Leddenes Orden (men det bevises ikke). 

 Af /(.«) findes saa F\x] ved den ovenfor angivne Formel. 



I Formlen for f[x) er det første Led givet explicit som en 

 bekjendt Funktion af x\ Integrationen i 3die Led er saa let, at 

 ogsaa dette Led kan betragtes som explicit givet (dets største 

 Værdi, for .r == 2, er omtrent i); derimod udkræves der til 

 Bestemmelse af det konstante Led .f(O) og af det vigtige andet 

 Led, der indeholder det diskontinuerte Element i /(*■), først at 

 z[t) udvikles i Række efter Potenser af tt^ dernæst at Rødderne 

 i Ligningen q[a) = O bestemmes , og endelig at Beregningen 

 af /z(æ' ) -{-li\x''~'^) gjøres overkommelig. Værdien af 

 li[x\ — /(æ-), der i mange Tilfælde let bestemmes ved de optalte 

 Primtalmængder, giver en ret god Forestilling om Leddet 2''^, og 

 man faar ligeledes den kontinuerte Del af F[x) meget nær ud- 

 trykt ved li [x) — \ li [x^ \—\li [xS — \ li\x" ) + \ li [x" ) — \li [x'] . . . , 

 men Udførelsen heraf er meget besværlig, saavel paa Grund af 

 Interpolationerne, som fordi man maa medtage saa mange Led; 

 er X = 10^, maa man, hvis man vil have Summen riglig blot 

 paa nærmeste Tiendedel, medtage alle 17 Led. 



