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Par contre, les recherches théoriques concernant la loi de 

 la fréquence et de la distribution des nombres premiers semblent 

 ouvrir de meilleures perspectives. Legendre a déja, en 1808, 

 communiqué une loi empirique sur leur fréquence, loi d'aprés 

 laquelle le chiffre des nombres premiers au-dessous de la 



limite x est donné approximalivement par l'expression ^^^_^ ? 



OU les constantes A el B doivent étre déterminées par l'ex- 

 périence. Il a pris A = I et B = 1-08366; on peut obtenir 

 des resultats encore meilleurs en donnant å ces constantes 

 d'autres valeurs (par ex. A = I-0030514J et ^ = 1-1201812^, 

 Valeurs tirées de la determination faite par M. Meissel du chiffre 

 des nombres premiers au-dessous de 10^ et de 10^), mais un 

 examen plus attentif montre que les quantités A et B (ou au 

 moins l'une d'elles) ne peuvent étre des constantes. 



G au s s a remarqué de tres bonne heure (certainement 

 avant 1800) que \^ exprime approximativement combien il y a 

 de nombres premiers au-dessous de æ", et c'est un des motifs 

 qui ont porte Bessel a s'occuper de cette intégrale (voir la lettre 

 de Bessel å Gauss du 26 aout 1810). Mais c'est seulement en 

 1848 que M. Tchébychev a démontré la justesse de Tobser- 

 vation de Gauss, et on lui doit également plusieurs autres pro- 

 positions importantes relatives aux nombres premiers. 



Riemann a enfln donné, en 1859, une formule analytique 

 ' pure pour trouver la quantité des nombres premiers au-dessous 

 d'une certaine limite; mais, avant de la communiquer, il est 

 nécessaire d'expliquer les notations dont il s'est servi. 



Riemann designe par F{x) le chiffre des nombres pre- 

 miers au-dessous de æ, lorsque æ est un nombre compose ; mais 

 si Æ' est un nombre premier p, F(æ) designe ce chiffre aug- 



menté de |, de sorte que F[p) = ^~ — y — ~- — • 



La fonction /(æ) est définie par: 



/» = F{x) -f AF(.z-) + >,F{x^) -f \F{æ^ .... 

 d'ou Ton tire: 



F[æ) = 1 4r/(a;^) = f{x) - \f{x^) - if(xh - i/(^i) + if(^h - |/(^^•^ 



dans l'hypothése que m comprend tous les nombres entiers 

 non divisibles par un carré > 1, et que// représente le nombre 

 des facteurs premiers contenus dans m. 



