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La fonction ^(a-) est définie par (Jjix) = I'H«"""'''''), et la 

 fonction ^{t) par: 



a quoi il faut ajouter que }^-\-ti= s et que s est un nombre 

 imaginaire a partie reelle > -|- 1. Une racine quelconque de 

 Téquation ^{a) = O est désignée par «. 

 Riemann troiive d'abord: 



f _1 d. 



Dans la sommation désignée par Z"-^ entrent toutes les racines 

 de l'équation q[a) = O qui sont positives ou imaginaires a partie 

 reelle positive, ordonnées suivant leur grandeur. 



De f{x) on dédiiit enfin la valeiir de F{x) au moyen de la 

 formule donnée plus haut. 



Comme Riemann, pour arriver å sa formule, fait un usage 

 étendu de l'intégration entre des limites imaginaires, on doit 

 regretter que l'exposé de sa demonstration soit si concis. 

 M. Genocchi y a en partie remedie dans le compte rendu 

 qu'il a publié dans Annali di Matematica di Tortolini, T. III. 

 Mais, sous d'autres rapports, la demonstration n'est non plus 

 tout a fait satisfaisante. D'abord on ne voit pas si le nombre 1 

 est compté ou non parmi les nombres premiers ; ce point 

 important demande un examen rigoureux, quoique Riemann 

 ait employé des expressions qui semblent indiquer qu'il n'a pas 

 compris le nombre 1 parmi les nombres premiers. De plus, il 

 dit bien que f(^), développée suivant les puissances de tt, donne 

 une serie tres convergente, mais il ne donne pas ce développe- 

 ment ni la valeur de c(0). La régle indiquée pour la sommation 

 désignée par S'^ n'est pas démontrée. Relativement å ^(0) , il 

 faut remarquer que M. Genocchi, dans la formule de f[x), 

 au lieu de ^.c(0), trouve l.},\ il n'a pas encore élé éclairci, 

 que je sache, si c(0) est = tV, ou si l'un des deux auteurs a 

 commis une petite erreur. 



Avant qu'on puisse se servir de la formule pour calculer 

 combien il y a de nombres premiers au-dessous d'une limite 

 donnée, il reste encore beaucoup a faire. Le logarithme integral 



