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des nombres reels est iine fonction conniie, et \^2_ { ' ^y^ 



peiit étre déterminée sans difficulté; mais il faut calciiler la 

 valeiir de $(0) et les racines de l'équation f(a) ==0, et rendre 



praticable le calcul du terme I!^{li{a;^'^"-) -{- li{x^~^])] la longue 

 queiie de tres petits termes que renferme la valeur de F(æ) 

 doit pouvoir se calculer plus commodément, par ex. a l'aide 

 de formules d'approximation suffisamment exactes. Le cal- 

 cul du terme X^ a une importance toute particuliére , puisque 

 c'est ce terme qui, dans F(æ), produit la discontinuité qui se 

 montre chaque fois que la valeur de æ passe par un nombre 

 premier; done, si l'on pouvait réussir a rendre ce calcul prati- 

 cable, on aurait un nouveau moyen pour decider si un nombre 

 propose est premier ou non, et ce moyen serait lapplicable méme 

 a de grands nombres. 



Remarquons encore qu'il n'est pas prouvé que la formule 

 de Riemann soit la seule forme sous laquelle on puisse repre- 

 senter F{æ]] il peut y avoir d'autres formules, méme plus com- 

 modes. La circonstance que FU') est ou un nombre entier ou 

 un nombre entier 4- J, fournit un critére facile du degré de 

 précision nécessaire pour le calcul exact de F{x). 



Il reste done encore beaucoup a faire avant que nous 

 soyons en etat de calculer exactement combien il y a de 

 nombres premiers au-dessous d'une limite donnée. Ce dont 

 il s'agit d'abord, c'est de prouver rigoureusement que ce nombre 

 est représenlé par la formule de lliemann ou bien par une 

 autre. Le probléme est si interessant et, sous plusieurs rap- 

 ports, si important, que nous devons espérer que la solution 

 ne s'en fera pas attendre trop longtemps. 



(Rés. du liull. de l'Acad. Roy. l)an. des Sciences et des Lettres p. 1882.) 



