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de Green, se ramène immédiatement à la première 
partie du problème, pourvu que sur la surface fron- 
tière S on puisse faire rouler à l’intérieur, comme à 
extérieur de S, une bille B de rayon assignable qui ne 
recoupe plus la surface hors du point de contact M,. 
J'applique alors la solution du problème de Dirichlet 
pour la sphère à l’intérieur de la bille B. 
La méthode employée me permet de poursuivre la 
discussion des dérivées d'ordre K de la fonction lorsque 
la surface S est d'indice K; j'entends par là que, dans le 
voisinage de tout point M, de la surface, l’équation de 
celle-ci rapportée à un système d’axes Mx, My, Mz, 
dont le dernier est normal à S en M,, est : 
z = F (x, y) 
les dérivées de F restant finies jusqu’à l’ordre K + I 
inclusivement. J’obtiens alors ce théorème : 
Relativement à une surface $S d’indice K, les dérivées 
d'ordre K (et les précédentes) de la fonction de Green 
sont uniformément continues dans le voisinage de la 
surface frontière. 
Pour arriver à ce résultat, je démontre que si la pro- 
position est vraie jusqu à K—N, elle sera encore vraie 
jusqu’à K — N + I, et j'emploie à cet effet, comme 
argument d'échelon, la remarque suivante : 
Etant donnée une fonction w homogène et de degré p 
des seules variables æ et y, on peut toujours la com- 
pléter par un polygone Q homogène de degré p, en 
æ,y,z,contenant z en facteur, de manière que la fonc- 
tion 
u + Q 
soit harmonique. 
