DES SCIENCES NATURELLES. 695 
ces surfaces singulières qui passent doublement par le 
cercle de l'infini. M. Mannheim a démontré d’une façon 
élégante que cette surface remarquable pouvait aussi s’ob- 
tenir en transformant le tore par rayons vecteurs réci- 
proques. 
Poursuivant le cours de ses investigations, dont le début 
avait été si brillant, S. Lie fut conduit quelques années 
plus tard (1872-1873) à la notion des transformations de 
contact. On entend par là celles dont le propre est de con- 
server le contact des figures. A leur base, il plaça l’idée de 
l'élément de contact ou de surface, c’est-à-dire l’ensemble 
que constituent un point et un plan passant par ce point. 
Il parvint ainsi à remplacer des lignes se coupant dans 
l’espace par des surfaces tangentes entre elles, et à faire 
correspondre les lignes de courbure d’une surface aux 
lignes asymptotiques de sa transformée, et réciproquement. 
Mais l’une des plus merveilleuses applications de la mé- 
thode des transformations de contact est celle que le géo- 
mètre norvégien fit à l'interprétation des équations aux 
dérivées partielles et de leurs intégrales. S'occupant tout 
d’abord des équations du premier ordre, il réussit à définir, 
même dans les cas les plus particuliers, les trois sortes de 
solutions dont elles sont susceptibles : complète, générale et 
singulière. Avant Lie, ce chapitre important du calcul infi- 
nitésimal péchait par un manque à peu près complet de 
généralité et d’uniformité. Il sut, le premier, ramener 
toutes les variétés de ces équations, en apparence dis- 
tinctes, à un type unique très simple, en {es soumettant 
aux lois de la transformation de contact, et fut ainsi con- 
duit à un mode de représentation géométrique de leurs 
intégrales, qui ne laisse rien à désirer au point de vue de 
la clarté. 
Ce chercheur infatigable ne se contenta pas d'appliquer 
sa méthode aux équations aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre; il l’étendit à celles d’un ordre plus élevé. A lui 
revient, en particulier, l'honneur d’avoir indiqué tous les 
cas où l'emploi des caractéristiques de Monge est possible 
dans le domaine des équations du second ordre à deux 
