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Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die 
quadratischen Reste. 
Von L. KroNnEcKER. 
(Vorgelegt am 7. Februar [s. oben S. 75].) 
I. 
x 
Sind a und x irgend welche reelle Grössen, so hat das Produet: 
(a=2) (a —x-+%) 
dann und nur dann einen negativen Werth, wenn x zwischen a und 
a-+- oder, was dasselbe ist, wenn a zwischen &— - und & liegt. 
Setzt man für « irgend eine ganze Zahl k,, so kann also jenes Produet 
nur dann negativ sein, wenn k, — ı die der Grösse @ zunächst liegende 
kleinere ganze Zahl ist, und wenn nach deren Subtraction von a 
der Rest: 
a—k,+1 
grösser als - wird. Diese einfache Bemerkung führt zu einem analytisch 
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brauehbaren Kriterium dafür, ob der bezeichnete Rest unter oder über 
2 
lieet, d. h. also dafür, ob die der Grösse a nächste ganze Zahl 
kleiner oder grösser als a ist. Denn, da: 
(a— k) (a— k+) 
für alle von k, verschiedenen ganzen Zahlen k stets positiv ist, so hat 
offenbar das Produet: 
I(a—k)(a—k+,) k=1,2,3,...r), 
wenn nur r nicht kleiner als jene Zahl k, — falls sie existirt — also nicht 
kleiner als die der Grösse «+ zunächst liegende kleinere ganze 
Zahl genommen wird, einen positiven oder negativen Werth, je 
nachdem die der Grösse a zunächst benachbarte ganze Zahl kleiner 
oder grösser als «a ist. = 
Bezeichnet man in Gauss’scher Weise mit [a] die der Grösse a 
zunächst liegende kleinere ganze Zahl und mit: 
sen. a 
