Kronxeerer: Beweis des Reeiprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 921 
über. welche den Satz ausdrückt, 
dass das Vorzeichen des Restes, welcher verbleibt. wenn man 
von na die ihr zunächst benachbarte ganze Zahl subtrahirt, 
mit demjenigen des Products: 
k k ) 
I|a& — - & + VZAREh Ser = (n—1)) 
k n n z 
genau übereinstimmt. 
k 
It «<-, also <-—« und lieeen A° Brüche unter #, liegen 
: ? i n 5 
— 4, und endlich »° über - 
2 2 
ferner #° Brüche zwischen & und 4, 
k 
so ist die Anzahl der negativen Factoren & — — gleich u° + v° und 
OR 
\ 3 NET ARE: 
die der negativen Faetoren & + — — — gleich A° + u°. Die Gesammt- 
7 2 
anzahl der negativen Factoren des Produets ist daher 2° + 2u° + ©. 
k 
. ! . 
‚ also «> -—-— x und liegen A Brüche — unter 
u 2 
ü n 
Ist aber 2 > — & 
k 
und v’ Brüche — über #, so ist die Gesammtanzahl der negativen 
n 
Factoren des Produets gleich A +v‘. Da hiernach in beiden Fällen 
die Gesammtanzahl der negativen Factoren des Produets mit dem 
Werthe von A -+ v, welcher die Anzahl der ausserhalb des durch 
die Werthe von z und — — begrenzten Intervalles ausdrückt, modulo 2 
übereinstimmt, so kann der obige Satz auch folgendermaassen for- 
mulirt werden: 
Ist sowohl « als auch -— «& positiv, so ist die Anzahl der 
Brüche mit positivem ungraden Nenner n: 
welche ausserhalb des durch die Werthe von z und — —« 
begrenzten Intervalles liegen, grade oder ungrade, je nachdem 
die dem Werthe von nz zunächst liegende ganze Zahl kleiner 
oder grösser als na ist. 
Bedeutet »n eine positive ungrade Zahl und A irgend eine der 
Zahlen: 
ı 
rer. (m — 1); 
und setzt man <= —, so wird gemäss der Gleichung (A): 
m 
h k h k I 
= - 1 _ (k — PO 
(B) sgn.R Bi —sgn.Il 
(n—1)). 
m am nm)\m n 
v|- 
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