522 Gesammtsitzung vom 1. Mai. — Mittheilung vom 7. Februar. 
Ist nun # diejenige von den Zahlen: 
welehe ihrem absoluten Werthe nach der Zahl »Ah modulo m eongruent 
ist, so wird: 
1 L 
nh = h sgn. R iu (mod. zn) 
m 
und also: 
ke (n—ı) } / 
= 3 h k\fh k I 
(6) nh=ksen. DU I|=-—- 1 + ——- (mod. m). 
kzı \m n )\m n Fe 
Auf diese Congruenz stützt sich der Beweis des Reciprocitätsgesetzes, 
weleher nunmehr gegeben werden soll. Um jedoch die Einfachheit 
dieses Beweises in das hellste Licht zu setzen, soll dabei die hier 
aus allgemeineren Betrachtungen hergeleitete Congruenz (6) nochmals, 
und zwar in ganz directer Weise, begründet werden. 
Unter den je —(n — ı) Grössen: 
SHz 
h KPh k I 4 
R En (ko, k'==1,2 ense> — (n— 1)) 
m n m n 2 x 
sind je zwei, für welche X + K — -(n + ı) ist, von gleichem Vor- 
zeichen, den einzigen Fall ausgenommen, in welchem eine Zahl 4° 
die Ungleichheitsbedingung: 
nh nd I 
<m< 
m m 2 
A Eu op h nh N 
erfüllt. Dies findet aber nur Statt, wenn. die dem Bruche — zunächst 
m 
2 ® nh ; 
liegende ganze Zahl grösser als —, und wenn also nh = — A (mod. m) 
F m 
ist. Das Product: 
h k h k I : 
— (k= 1,2,...— (n— ı)) 
k \m N m N 2 
ist daher positiv oder negativ, je nachdem der absolut kleinste Rest 
von nA (mod. n) positiv oder negativ ist, d. h. es besteht die Congruenz: 
N 
ST k h k 
I 
(Ü) nA=hsgn. I +4. — (mod. »n) 
k=ı \ m n)\m n 2 
