Kroseerer: Beweis des Reeiproeitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 92» 
so wie die damit äquivalente Gleichung: 
h k=(n—ı) R Ir 
(8) sen. R Be. I E -\G re : ). 
an k=1 am n 
Setzt man in der Congruenz (6) für A die Zahlen ı,2,...-(m— ı) 
und multiplieirt die sämmtlichen daraus entstehenden Congruenzen 
mit einander, so kommt: 
.r I (m I k I k I 
(6) n er, -TIh sen. IL| — — -+ — — — | (mod. m), 
h h h,k\ m n m n D, 
(MR -(m— 1); KV: (n-1)) 
und hieraus folgt, wenn »z eine Primzahl ist, die Gleichung: 
n hı k h k 1 1,2... - (m—ı) 
(D) a Zr : 
m h,k\ m 7 m n 2 k=1,2,...—(R— 1) 
B s TER n i 
in welcher das LeEsEnprE'sche Zeichen | — | so dargestellt ist, dass 
m 
die Reeiproeitätsgleichung: 
m n U(m<.ı) (n— ı) 
(€) =) 
unmittelbar in Evidenz tritt, wenn auch » als Primzahl voraus- 
gesetzt wird. 
Il. 
Der vorstehende Beweis des Reeiproecitätsgesetzes für die quadra- 
tischen Reste ist wohl der einfachste unter allen, die bisher gegeben 
worden sind; er gehört in diejenige Kategorie, welche durch den 
dritten und fünften Gauss’schen Beweis bezeichnet wird, und welche 
ich in meiner Mittheilung vom 22. Juni 1876 eingehend behandelt 
habe." In ähnlicher Weise, wie hier durch die Gleichung (®), habe 
ich auch dort das Lesenpre’sche Zeichen durch das Vorzeichen eines 
Produets dargestellt, und die dortige Bestimmungsweise” lässt sich bei 
Anwendung der hier eingeführten Bezeichnungen durch die Gleichung: 
P m h k R=1 24... (m—1) 
(D) ii on 
n hk\m n k=1,2,...—(n— I) 
ausdrücken. Bei beiden Arten der Darstellung des Lesexpre’schen 
Zeichens, d. h. sowohl bei derjenigen, welche durch die Gleichung (D) 
" Monatsbericht vom Juni 1876, S. 331 u. ilgde. 
® Vergl. die mit (®’) bezeichnete Bestimmung a. a. O. S. 335. 
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