Kronecker: Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 927 
wird, je nachdem » quadratischer Rest oder Nichtrest von m ist, so 
geht schon aus der Congruenz (©) im Art. II hervor, dass das Vor- 
zeichen des Products: 
Sn 
Ss 
I 
| 
SS 
[97 
A,k\ m M 
h k ( k h=1,2,...—(m—ı) 
2 — + e _— z 
k=1,2,...—(n— ı) 
für den Fall, dass m Primzahl ist, mit dem Lesexore’schen Zeichen 
N e ee \ E - . 
— | übereinstimmt, und es ist hiermit, da nur dieser Punkt noch 
m 
zu erledigen war, der obige Nachweis der allgemeinen Überein- 
stimmung des Zeichens jenes Products mit dem LEsEnDrE-Jacogr'schen 
e N ca Se 
Zeichen | — | vervollständigt. 
m 
A 3 n E Se s 
Der Nachweis, dass das Zeichen [— | in der Gleichung (D) mit 
m 2 
dem LE£senprE-Jacogr'schen Zeichen übereinstimmt, enthält zugleich 
er - oz ne 
denselben Nachweis für das Zeichen | — ) in der Gleichung (2°), d.h. 
an 
also den Nachweis dafür, dass das Zeichen des Produets: 
nh 
I (k=1,2,....—_(m—1)), 
h m ö 
wenn m und rn keinen gemeinsamen Theiler haben, mit dem LEeENDRE- 
- r N R 2 e P 4 
Jacogı'schen Zeichen | — | identisch ist. Dies kann aber auch direet 
m 
in einfacher Weise gezeigt werden. Denkt man sich nämlich alle 
auf ihre redueirte Form —- gebracht, so zerfällt das obige 
Brüche £ 
d 
Product in so viel Theilproducte: 
nr 
HR | — 
r d 
als Divisoren (d) von m vorhanden sind. Jedes dieser Produete 
erstreckt sich auf alle Zahlen r, die kleiner als -d und relativ prim 
zu d sind, und vermöge der Congruenz: 
nr 
nr =r'sgn. R 7 (mod. d), 
A WE 
durch weiche nach Art. I das Zeichen sgn. R .) definirt ist, wird: 
ä ( 
nr 
sgn. TIR 7 =n 2 (mod. d), 
r d 
