Kroxeerer: Beweis des Reciproeitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 93 1 
gleiehung (€) leicht herzuleiten ist. Geht man nun von zwei (posi- 
tiven oder negativen) ungraden Zahlen z,,r, für welche: 
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ist, aus und bildet daraus eine Reihe von Zahlen: 
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derart, dass: 
(KR) 2, =— 2n, R nu ‚n==bn,R ee an Re 
en, i 2N,, 2, 
wird, so ist dies eine Reihe von lauter ungraden, positiven oder 
negativen, ihrem absoluten Werthe nach abnehmenden Zahlen, und 
es besteht zwischen ihnen eine Reihe von Gleichungen: 
() m -2r,n. +n,—=0,m— 27yN,; + N, — 0,5... 143 2, 1m FO, 
in denen 7,,7,,....7,_, positive oder negative ganze Zahlen sind. 
Bezeichnet man nämlich die dem Bruche zunächst liegende posi- 
2n, 
tive oder negative ganze Zahl mit r,, so ist der absolute Werth der 
Ass Ng_ ; E 
Differenz "_ r, kleiner als -; es ist daher: 
2 R 
N N 
FR Ser ME 
any 2m, 
und folglich gemäss den Gleichungen (8): 
Rami —N, we (k=1,2,...t1—1),, 
21. * 2; 
so dass in der That: 
(8) N — N + pp — 0 (k=1,2,...4—1) 
wird. — Sind r, und n,, wie von jetzt ab angenommen werden soll, 
zu einander relativ prim, so kann man die Reihe der Zahlen » so 
weit fortsetzen, dass 2,—= + ı wird. 
ös sejen nun 7%, %.,p; diejenigen Werthe + ı, wofür: 
N =ı (mod. 4), 4m > 0, AT. > 0 
wird, so dass „—=sgn.n, und z,=sgn.r; ist, während 7, als der 
Werth von sen. %. modulo 4 definirt werden kann." Bei Ein- 
! Nennt man, ähnlich wie in der Theorie der complexen Zahlen, eine ungrade 
(positive oder negative) Zahl primär, wenn sie eongruent ı modulo 4 ist, so kann n, 
als diejenige (positive oder negative) Einheit definirt werden, wofür r,n, primär ist 
oder wird. 
Ik, 
